CHSH-Ungleichung

Nötzungsschätzung: Zwei Minute op enem Heron r2-Prozessor (HENWIES: Dat es bloß en Schätzung. Ding Laufzick kann variiere.)

Hengerjrund

En däm Tutorial mäht mer e Experiment op enem Quantecomputer, öm de Verletzung vun der CHSH-Ungleichung met dem Estimator-Primitiv ze zeije.

De CHSH-Ungleichung, jenannt noh de Autore Clauser, horne, Shimony un Holt, weed jenötzt, öm Bells Theorem (1969) experimentell ze bewiese. Dat Theorem sät us, dat lokale Theorie met verborgene Variable nit all Konsequenze vun der Verschränkung en der Quantemechanik erkläre künne. De Verletzung vun der CHSH-Ungleichung weed jenötzt, öm ze zeije, dat de Quantemechanik met lokale Theorie met verborgene Variable nit vereinbar es. Dat es e wichtich Experiment för et Verstendnis vun de Jrundlage vun der Quantemechanik.

Dä Nobelpreis för Physik 2022 wood an Alain Aspect, John Clauser un Anton Zeilinger verjovve, unger anderem för hör Pionierarbeit en der Quanteinformationswessenschaft un besonders för hör Experimente met verschränkte Photone, die de Verletzung vun de Bellsche Ungleichunge jezeeht han.

Aanforderunge

Vör däm Aanfang vun däm Tutorial, stell sescher, dat do Foljendes installeet häs:

• Qiskit SDK v1.0 oder neuher, met visualization-Ungerstötzung
• Qiskit Runtime (pip install qiskit-ibm-runtime) v0.22 oder neuher

Opbou

# General
import numpy as np

# Qiskit imports
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit import Parameter
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

# Qiskit Runtime imports
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import EstimatorV2 as Estimator

# Plotting routines
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.ticker as tck

Schrett 1: Klassische Enjaave op e Quanteproblem afbelde

För dat Experiment maache mer e verschränk Paar, wo mer jedes Qubit op zwei verschiedene Baase messe. Mer kennzeechne de Baase för et eezte Qubit met $A$ un $a$ un de Baase för et zweite Qubit met $B$ un $b$. Dat erlöv et uns, de CHSH-Jrüß $S_1$ ze berechne:

$$S_1 = A(B-b) + a(B+b).$$

Jede Observable es entweder $+1$ oder $-1$. Klor es, dat eine vun de Terme $B\pm b$ jlich $0$ sin muss un der ander $\pm 2$ sin muss. Doröm es $S_1 = \pm 2$. Dä Durchschnettswäät vun $S_1$ muss de Ungleichung erfülle:

$$|\langle S_1 \rangle|\leq 2.$$

Wenn mer $S_1$ en Bezoch op $A$, $a$, $B$ un $b$ uswiggelt, krieje mer:

$$|\langle S_1 \rangle| = |\langle AB \rangle - \langle Ab \rangle + \langle aB \rangle + \langle ab \rangle| \leq 2$$

Do kanns noch en wigger CHSH-Jrüß $S_2$ deffiniere:

$$S_2 = A(B+b) - a(B-b),$$

Dat föhrt zo ener wigger Ungleichung:

$$|\langle S_2 \rangle| = |\langle AB \rangle + \langle Ab \rangle - \langle aB \rangle + \langle ab \rangle| \leq 2$$

Wenn de Quantemechanik durch lokale Theorie met verborgene Variable beschrevve wääde kann, müsse de vörherije Ungleichunge wohr sin. Ävver wie en däm Tutorial jezeeht weed, künne dise Ungleichunge op enem Quantecomputer verletzt wääde. Doröm es de Quantemechanik nit met lokale Theorie met verborgene Variable vereinbar. Wann do mieh Theorie liere wells, lohr der Entanglement in Action met em John Watrous aan. Mer maache e verschränk Paar zwesche zwei Qubits en enem Quantecomputer, endäm mer dä Bell-Zostand $|\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$ erzööje. Met däm Estimator-Primitiv kanns de direkt de nüdije Erwartungswääte ($\langle AB \rangle, \langle Ab \rangle, \langle aB \rangle$ un $\langle ab \rangle$) krijje, öm de Erwartungswääte vun de beede CHSH-Jrüße $\langle S_1\rangle$ un $\langle S_2\rangle$ ze berechne. Vör der Enföhrung vum Estimator-Primitiv hätts de de Erwartungswääte us de Messerjebness konstruiere müsse.

Mer messe et zweite Qubit en de $Z$- un $X$-Baase. Et eezte Qubit weed och en orthogonale Baase jemesse, ävver met enem Wenkel bezöhlich vum zweite Qubit, dä mer zwesche $0$ un $2\pi$ variiere wääde. Wie de siehs, mäht et Estimator-Primitiv et Usföhre vun parametrisierte Schaltkreise sehr einfach. Anstatt en Reihe vun CHSH-Schaltkreise ze maache, moß mer bloß eine CHSH-Schaltkreis met enem Parameter maache, dä dä Messwinkel aanjitt, un en Reihe vun Phasewääte för dä Parameter.

Schleßlich wääde mer de Erjebness analysiere un jeje dä Messwinkel opträje. Do weeß sinn, dat för en bestemmte Bereich vun Messwenkele de Erwartungswääte vun de CHSH-Jrüße $|\langle S_1\rangle| > 2$ oder $|\langle S_2\rangle| > 2$ sin, wat de Verletzung vun der CHSH-Ungleichung zeecht.

# To run on hardware, select the backend with the fewest number of jobs in the queue
service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=127
)
backend.name

'ibm_kingston'

Ene parametrisierte CHSH-Schaltkreis maache

Eets schrieve mer dä Schaltkreis met däm Parameter $\theta$, dä mer theta nenne. Dat Estimator-Primitiv kann dä Schaltkreisopbou un de Usjaabeanalyse ärm vereinfache, endäm et direkt Erwartungswääte vun Observable leffert. Fill interessante Probleme, besonders för korzfristije Aanwendunge op verrauschte Systeme, künne en Form vun Erwartungswääte formuleet wääde. Dat Estimator (V2)-Primitiv kann automatisch de Messbasis basierend op der bereetjestellte Observable ändere.

theta = Parameter("$\\theta$")

chsh_circuit = QuantumCircuit(2)
chsh_circuit.h(0)
chsh_circuit.cx(0, 1)
chsh_circuit.ry(theta, 0)
chsh_circuit.draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

En Liss vun Phasewääte maache, die späder zojewiese wääde

Nohdem do dä parametrisierte CHSH-Schaltkreis jemaat häs, mähs de en Liss vun Phasewääte, die däm Schaltkreis em nächste Schrett zojewiese wääde. Do kanns dä folgende Code nötze, öm en Liss vun 21 Phasewääte em Bereich vun $0$ bes $2 \pi$ met jlichem Afstand ze maache, also $0$, $0.1 \pi$, $0.2 \pi$, ..., $1.9 \pi$, $2 \pi$.

number_of_phases = 21
phases = np.linspace(0, 2 * np.pi, number_of_phases)
# Phases need to be expressed as list of lists in order to work
individual_phases = [[ph] for ph in phases]

Observable

Jetz bruche mer Observable, us dänne mer de Erwartungswääte berechne künne. En unserm Fall betraachte mer orthogonale Baase för jedes Qubit, wobei de parametrisierte $Y$-Rotation för et eezte Qubit de Messbasis fascht kontinuierlich bezöhlich vun der Basis vum zweite Qubit varieet. Mer wähle doröm de Observable $ZZ$, $ZX$, $XZ$ un $XX$.

# <CHSH1> = <AB> - <Ab> + <aB> + <ab> -> <ZZ> - <ZX> + <XZ> + <XX>
observable1 = SparsePauliOp.from_list(
    [("ZZ", 1), ("ZX", -1), ("XZ", 1), ("XX", 1)]
)

# <CHSH2> = <AB> + <Ab> - <aB> + <ab> -> <ZZ> + <ZX> - <XZ> + <XX>
observable2 = SparsePauliOp.from_list(
    [("ZZ", 1), ("ZX", 1), ("XZ", -1), ("XX", 1)]
)

Schrett 2: Problem för de Usföhrung op Quantehardware optimiere

Öm de Jesamtusföhrungszick vum Job ze reduziere, akzeptiere V2-Primitive bloß Schaltkreise un Observable, die de vum Zielsystem ungerstötzte Aanwiesunge un der Konnektivität entsprääche (bezeeechnet als Instruction Set Architecture (ISA)-Schaltkreise un -Observable).

ISA-Schaltkreis

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

chsh_isa_circuit = pm.run(chsh_circuit)
chsh_isa_circuit.draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

ISA-Observable

Ävveso müsse mer de Observable transformiere, öm se backend-kompatibel ze maache, bevör mer Jobs met Runtime Estimator V2 usföhre. Mer künne de Transformation met der apply_layout-Methode vum SparsePauliOp-Objekt durchföhre.

isa_observable1 = observable1.apply_layout(layout=chsh_isa_circuit.layout)
isa_observable2 = observable2.apply_layout(layout=chsh_isa_circuit.layout)

Schrett 3: Usföhre met Qiskit-Primitive

Öm dat jesampte Experiment en einem einzije Oproof vum Estimator uszföhre. Mer künne e Qiskit Runtime Estimator-Primitiv maache, öm uns Erwartungswääte ze berechne. De EstimatorV2.run()-Methode nemmp e Iterable vun primitive unified blocs (PUBs). Jedes PUB es e Iterable em Format (circuit, observables, parameter_values: Optional, precision: Optional).

# To run on a local simulator:
# Use the StatevectorEstimator from qiskit.primitives instead.

estimator = Estimator(mode=backend)

pub = (
    chsh_isa_circuit,  # ISA circuit
    [[isa_observable1], [isa_observable2]],  # ISA Observables
    individual_phases,  # Parameter values
)

job_result = estimator.run(pubs=[pub]).result()

Schrett 4: Nohbeärbeidung un Röckjaav vum Erjebnes em jewünschte klassische Format

Dä Estimator jitt Erwartungswääte för beede Observable zerög, $\langle ZZ \rangle - \langle ZX \rangle + \langle XZ \rangle + \langle XX \rangle$ un $\langle ZZ \rangle + \langle ZX \rangle - \langle XZ \rangle + \langle XX \rangle$.

chsh1_est = job_result[0].data.evs[0]
chsh2_est = job_result[0].data.evs[1]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

# results from hardware
ax.plot(phases / np.pi, chsh1_est, "o-", label="CHSH1", zorder=3)
ax.plot(phases / np.pi, chsh2_est, "o-", label="CHSH2", zorder=3)

# classical bound +-2
ax.axhline(y=2, color="0.9", linestyle="--")
ax.axhline(y=-2, color="0.9", linestyle="--")

# quantum bound, +-2√2
ax.axhline(y=np.sqrt(2) * 2, color="0.9", linestyle="-.")
ax.axhline(y=-np.sqrt(2) * 2, color="0.9", linestyle="-.")
ax.fill_between(phases / np.pi, 2, 2 * np.sqrt(2), color="0.6", alpha=0.7)
ax.fill_between(phases / np.pi, -2, -2 * np.sqrt(2), color="0.6", alpha=0.7)

# set x tick labels to the unit of pi
ax.xaxis.set_major_formatter(tck.FormatStrFormatter("%g $\\pi$"))
ax.xaxis.set_major_locator(tck.MultipleLocator(base=0.5))

# set labels, and legend
plt.xlabel("Theta")
plt.ylabel("CHSH witness")
plt.legend()
plt.show()

En der Affbildung jrenze de Linnie un jrau Bereiche de Jrenze av; de üßerste (strichpunktete) Linnie bejrenze de Quantejrenze ($\pm 2$), während de ennere (jestrichelten) Linnie de klassische Jrenze ($\pm 2\sqrt{2}$) bejrenze. Do kanns sinn, dat et Bereiche jitt, wo de CHSH-Zeugjrüß de klassische Jrenze överschrigg. Jlögwönsch! Do häs erfolchrich de Verletzung vun der CHSH-Ungleichung en enem echte Quantesystem jezeeht!

Tutorial-Ömfroch

Bett nemm aan diser korze Ömfroch deel, öm Feedback zo däm Tutorial ze jävve. Ding Erkenntnisse hellefe uns, uns Enhaltsaanjebote un Benotzereffahrung ze verbessere.

Link zor Ömfroch